[Lincoln Six Echo]

À l'attendant la prochaine MDSL, voici un paradoxe qui touche les probabilités ...

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Deux enveloppes contiennent chacune un chèque. On sait que l'un des chèques porte un montant double de l'autre. Le candidat choisit une des enveloppes.


Avant qu'il n'ouvre l'enveloppe, on lui demande s'il souhaite changer d'enveloppe.


Changer d'enveloppe ne changera rien à long terme au niveau du EV puisque 1 fois sur 2 ont aura la petite enveloppe, et l'autre fois on aura la grosse. Notre EV est donc neutre. Ou ... l'est-il vraiment ?


Si N est la valeur du chèque dans l'enveloppe choisie en premier. Il y a deux cas possibles :

• une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus important (donc de valeur 2N);
• une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus petit (donc de valeur N / 2).

L'espérance de gain si on change d'enveloppe paraît donc être :
[ (0,5 * 2N) + (0,5 * (N / 2)) ], soit 1,25N, qui est supérieur à N.




Ou en format "mathématique", où "A" représente le montant :



(On gagne 1 fois sur 2 le double de A) ou (.5 * 2A = 1A)
+
(On gagne 1 fois sur 2, la moitié de A) ou (.5 * A/2 = .25A)
donc, 1A + .25A = 1.25A

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Il faudrait donc à tout coup changer d'enveloppe. En changeant d'enveloppe on obtient 0.25N de plus comme équité!


Or un tel choix parait absurde, puisque les enveloppes ne se distinguent entre elles que par leur nom. On s'attendrait à ce que les enveloppes gardent une espérance de gain égale après ces manipulations indépendantes de leur contenu.


D'ailleurs, si on répétait la manœuvre (rechanger l'enveloppe pour reprendre la même) , le calcul s'applique encore et on serait censé avoir 1,25 * 1,25N, alors qu'on a retrouvé l'enveloppe initiale !

D'où vient le .25N supplémentaire ?




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