Paradoxe #1 : Probabilité des 2 enveloppes

[Lincoln Six Echo]

À l'attendant la prochaine MDSL, voici un paradoxe qui touche les probabilités ...

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Deux enveloppes contiennent chacune un chèque. On sait que l'un des chèques porte un montant double de l'autre. Le candidat choisit une des enveloppes.


Avant qu'il n'ouvre l'enveloppe, on lui demande s'il souhaite changer d'enveloppe.


Changer d'enveloppe ne changera rien à long terme au niveau du EV puisque 1 fois sur 2 ont aura la petite enveloppe, et l'autre fois on aura la grosse. Notre EV est donc neutre. Ou ... l'est-il vraiment ?


Si N est la valeur du chèque dans l'enveloppe choisie en premier. Il y a deux cas possibles :

• une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus important (donc de valeur 2N);
• une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus petit (donc de valeur N / 2).

L'espérance de gain si on change d'enveloppe paraît donc être :
[ (0,5 * 2N) + (0,5 * (N / 2)) ], soit 1,25N, qui est supérieur à N.




Ou en format "mathématique", où "A" représente le montant :



(On gagne 1 fois sur 2 le double de A) ou (.5 * 2A = 1A)
+
(On gagne 1 fois sur 2, la moitié de A) ou (.5 * A/2 = .25A)
donc, 1A + .25A = 1.25A

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Il faudrait donc à tout coup changer d'enveloppe. En changeant d'enveloppe on obtient 0.25N de plus comme équité!


Or un tel choix parait absurde, puisque les enveloppes ne se distinguent entre elles que par leur nom. On s'attendrait à ce que les enveloppes gardent une espérance de gain égale après ces manipulations indépendantes de leur contenu.


D'ailleurs, si on répétait la manœuvre (rechanger l'enveloppe pour reprendre la même) , le calcul s'applique encore et on serait censé avoir 1,25 * 1,25N, alors qu'on a retrouvé l'enveloppe initiale !

D'où vient le .25N supplémentaire ?




Pour avoir la reponse, cliquez ici

[cayouche]

Je les aime ceux-là.

J'aime particulièrement le Monty Hall problem (pour ceux qui écoute Deal or No Deal, ou Le Banquier <------ yark!!, l'idée est là même).

[cayouche]

Ton équation, en partant, est mal citée. Aucun sens whatsoever.

Tu ne peux pas prendre ce problème de cette façon. Les physiciens vont me comprendre, c'est un problème de masse réduite.

Je vais y revenir plus tard...

[John T. Chance]

Je pense que le problème vient de ce que N ne désigne pas le montant d'un cheque particulier, mais le montant d'un cheque par rapport à l'autre.
Pour moi, il faudrait appeller N un cheque particulier, par exemple le plus petit.
On aurait donc une chance sur deux d'avoir le cheque N à la fin et une chance sur deux d'avoir deux fois N, soit une équité de
(0.5*N)+(0.5*2N) soit 1.5N ce qui est parfaitement normal (c'est la moyenne du petit cheque et du gros cheque).

[Yanman]

Si tu fais ton calcules avec les différences de gain plutôt?

½ x (+A) + ½ x (-A) = 0...donc changer ne donne aucune différence de gain car dans un cas tu fais A de plus et dans l'autre cas, tu fais A de moin. Donc la différence de gain est de 0.

quand on prend le calcul ainsi, on voit tout de suite d'où vient ton 0.25A de trop. Tu ne prends pas la valeur moyenne des deux enveloppes pour faire le calcul et c'est ce que tu dois prendre.

Donc en changeant, tu gagnes 1 fois sur 2 un montant 4/3 plus gros que la moyenne (1/0.75) et une fois sur deux tu gagnes une montant 2/3 de fois la moyenne (0.5/0.75) si tu refais ton calcul en se référant à ces chiffres, tu as donc

½ x 4/3 M + ½ x 2/3 M = M!!!!

En calculant comme tu le faisais, tu ramenais le montant initial à une valeur A, alors que dans un cas, la valeur est deux fois ce qu'elle est dans l'autre. bref tu ajoutais 0.5 de valeur que tu divisais ensuite par deux car tu as deux choix... ce qui est faux, faut prendre la moyenne comme valeur de départ.

[Yanman]

Posté par John T. Chance

Je pense que le problème vient de ce que N ne désigne pas le montant d'un cheque particulier, mais le montant d'un cheque par rapport à l'autre.
Pour moi, il faudrait appeller N un cheque particulier, par exemple le plus petit.
On aurait donc une chance sur deux d'avoir le cheque N à la fin et une chance sur deux d'avoir deux fois N, soit une équité de
(0.5*N)+(0.5*2N) soit 1.5N ce qui est parfaitement normal (c'est la moyenne du petit cheque et du gros cheque).

exact en posant N comme valeur du petit chèque, moi, j'ai mis M pour la moyenne et j'ai ensuite mis la différence des deux chèques vs la moyenne. notez que si on met N comme le gros chèque alors M = 0.75N.

[pllemay]

Ok j'vais m'essayer...

Le .25N représente le profit supplémentaire qu'on obtient en tombant sur l'enveloppe qui contient deux fois plus d'argent PAR RAPPORT À l'enveloppe qui contient deux fois moins d'argent. Si l'équation avait balancé à 1A au lieu de 1.25A, ça aurait signifié qu'à long terme, il n'y aurait pas eu vraiment d'avantage à tomber sur la première enveloppe plutôt que la deuxième étant donné les probabilités du problème puisqu'on aurait gagné autant d'argent en tombant sur l'une ou l'autre des enveloppes.

Pour que le EV soit neutre, il aurait fallu trouver une combinaison de probabilité pour que xA + yA = 1A. Par exemple, 0.75A + 0.25A = 1A. Si je calcul bien, en français ça aurait voulu dire que l'enveloppe 1 fait gagner 1.5 (au lieu de 2) le montant de l'enveloppe, et la deuxième la moitié du montant.

Le fait de changer d'enveloppe encore et encore n'augmente pas le EV. Disons qu'on prend l'équité au départ en choisissant une enveloppe, qu'on change d'enveloppe 10 fois, et qu'on regarde encore l'équité, on arrive toujours à .25N. Les probabilités sont toujours les mêmes puisque le nombre de fois qu'on change d'enveloppe n'est pas une constante dans l'équation du calcul de EV... Donc la partie du problème qui nous laisse croire que changer d'enveloppe augmente notre équité sert seulement à nous mélanger.

Ouch ma tête!

[Lincoln Six Echo]

bon .. déja qqn a trouvé la réponse! hehe

Voici la réponse 'officielle' ;



http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradox...eux_enveloppes
Explications

Tout le paradoxe est basé sur une présentation trompeuse : d'abord elle occulte le fait que la valeur de N est différente selon l'enveloppe qu'on a déjà en main ; ensuite, le calcul ne tient pas compte de la perte engendrée par l'abandon de l'enveloppe initiale.
Or, il est normal que l'espérance de gain rapportée à la valeur initiale, donc en pourcentage, soit différente selon l'enveloppe qu'on a en main ! Dans un cas, on gagne 100%, dans le second, on perd 50%, pour faire correctement la moyenne il ne faut pas faire, comme proposé : mais pondérer par les valeurs initiales :
On retrouve le fait qu'après une hausse de 100%, il suffit d'une baisse de 50% pour retrouver le montant initial.
Une autre présentation du raisonnement correct est la suivante

• une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus important (donc de valeur 2N) : le changement fait perdre N et gagner 2N, gain total : N;
• une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus petit (donc de valeur N / 2), : le changement fait gagner N/2 et perdre N, gain total : -N/2 (négatif, c'est une perte), mais où N vaut le double du cas précédent.

L'espérance de gain par changement d'enveloppe est donc (0,5 * N) + 2 * (0,5 * − N / 2) = 0. On ne gagne rien .
Toutefois, il faut signaler que le problème est très différent dans le cas de trois enveloppes (contenant respectivement 0, N ou 2N, N étant inconnu), lorsqu'on ouvre une des deux enveloppes initialement délaissées avant de proposer de changer. À vous de calculer, selon que le résultat de l'ouverture dévoile zéro ou une somme non nulle ! Ce problème est une variante du paradoxe des trois prisonniers.

[BxN88]

Posté par cayouche

Je vais y revenir plus tard...

On est-tu plus tard là?

/Bx

[Septs]

Ok dans le même genre, mais plus facile, un classique que tlm qui a suivi un cour de probabilité a deja entendu...

Vous etes dans un jeu télévisé et vous avez trois portes devant vous.

L'une des portes comporte l'auto de votre rêve et les deux autres une chèvre.

L'animateur vous demande de choisir une porte au hasard.

Ensuite il vous ouvrira une des deux portes que vous n'avez pas choisis et vous montrera toujours une chèvre.

Il vous demande ensuite si vous désirez garder la même porte ou changer de porte.

Est-il préférable de changer de porte? Si oui pourquoi?